新約と旧約の違い

まず
「旧約」とは「古い契約」
「新約」とは「新しい契約」
の意味です。神と人間との間に結ばれる契約です。

旧約聖書はユダヤ教の経典で、いつか救い主が現れてユダヤ人の王となる、という伝承を伝えています。それが「古い契約」です。
そしてキリストがその「救い主」です。
「救い主が現れる」という契約が成就したので「古い契約」になったのです。
そしてキリストによって新しい教えが説かれ、「キリスト教」として独立しました。ですからキリストの教えを書いたものが「古い契約」に対して「新しい契約」と言われ新約聖書になりました。

ユダヤ教徒はキリストを救い主と認めず、旧約の教えを守ってずっと「救い主」の出現を待っています。ですからユダヤ教徒にとっては「旧約」はまだ「古い契約」ではないので、「旧約聖書」という言い方はしません。もちろん新約聖書は使いません。

旧約聖書は「創世記」に始まって「出エジプト記」「レビ記」「民数記」「申命記」の最初の５つが「モーセ五書」と言われます。天地創造から始まってユダヤ人がエジプトへ行き、モーセの指導によってエジプトから脱出し十戒を授けられた歴史、特にモーセの生涯について詳しく書かれています。
それに続く書ではユダヤ人の歴史が述べられたり、信仰の篤い人の事跡が述べられたりします。有名な人ではダビデ王やソロモン王がいます。そしてイザヤやエレミアなど多くの預言者（未来を予言するのではなく、神の言葉を預かる者の意味）の言葉を記したものや詩を集めた詩篇などがあり、さまざまな書が集まって「旧約聖書」という一つの書物を作っています。原典はヘブライ語で書かれています。

新約聖書はキリストの伝記を記したもの、使徒の事跡、信者が残した書簡類が主です。伝記はマタイ、マルコ、ルカ、ヨハネの４人がそれぞれバラバラに書いたものが順番に並んでいます。書かれた順番とは異なります。例の系図はマタイの冒頭です。系図は飛ばして差し支えありませんので、飛ばしてキリスト誕生の次第へ飛んでください。
書簡類ではパウロの書いたものが最もたくさんあります。最後に「黙示録」が来ます。この世の終末について書いてありますが、読んでもよくわかりません。原典はギリシア語で書かれています。
キリスト教徒は新旧両方とも経典として尊重していますが、旧約よりも新約を信仰の基準にしています。

違っているかもしれませんが、旧約聖書はイスラム教の聖典でもあると思います。

イスラム教：旧約聖書＋コーラン
ユダヤ教：旧約聖書＋タルムード
キリスト教：旧約聖書＋新約聖書

と理解しているのですが・・・。

イスラム教ではユダヤ教もキリスト教もイスラムのルーツだと解釈しています。
旧約聖書の時代のモーセやイザヤなどを神の言葉を伝えた預言者として認めています。またキリストもイスラム教では預言者の一人としています。（キリスト教ではキリストは神の子であり救い主）。
ムハンマド（マホメット）は大天使ガブリエルから神の言葉を授かりました。ムハンマドは最後の預言者です。
旧約聖書も読むかもしれませんが、あくまでも最後の預言者であるムハンマドの言葉（正確にはムハンマドが神から授かった言葉）を書き記したコーランが基本でありコーランに絶対的信頼を寄せています。

コーランは長らくアラビア語以外の言葉に訳す事が許されていませんでした。アラビア語で読んでこそ本当の意味が伝わるからです。多読をしている人なら英語と日本語では表現の違いがあることがわかりますよね。またアラビア語のコーランは声に出して朗誦しても美しい言葉です。イスラム教徒ならたとえ自国語のコーランがあってもアラビア語を勉強することが多いです。